حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{r^{2} + 1}$ في صورة ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ هو $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ حيث $f (r) = r$ و $g (r) = {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{1}}$

خطوة 4

بسّط.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

خطوة 5.2

اضرب ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ و $g (r) = r^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $r^{2} + 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $r^{2} + 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 11.3

انقُل ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 11.4

اجمع $\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1]}{r^{2} + 1}$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $r^{2} + 1$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [1])}{r^{2} + 1}$

خطوة 14

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 1}$

خطوة 15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أضف $2 r$ و $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 1}$

خطوة 15.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 1}$

خطوة 15.3

اجمع $- 2$ و $\frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 1}$

خطوة 15.4

اجمع $\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 16

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 17

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 19

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 20

أخرِج العامل $2$ من $- 2 r^{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 21

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 1}$

خطوة 21.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 21.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 22

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 23

لكتابة ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 25

اضرب ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 25.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 25.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 25.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 26

بسّط ${(r^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{r^{2} + 1 - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 27

اطرح $r^{2}$ من $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 28

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

خطوة 29

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 1}$

خطوة 30

اضرب $\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{r^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 1)}$

خطوة 31

اضرب ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $r^{2} + 1$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.1

اضرب ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $r^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.1.1

ارفع $r^{2} + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{1}}$

خطوة 31.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

خطوة 31.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

خطوة 31.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

خطوة 31.4

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$