حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{7 x}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $x^{7 x}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{7 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{7 x})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln (x^{7 x})$ بنقل $7 x$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{7 x \ln (x)}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 7 x \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x \ln (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x \ln (x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x \ln (x)$ .

$e^{7 x \ln (x)} \frac{d}{d x} [7 x \ln (x)]$

خطوة 3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{7 x \ln (x)} (7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{7 x \ln (x)} (7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{7 x \ln (x)} (7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{7 x \ln (x)} (7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{7 x \ln (x)} (7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{7 x \ln (x)} (7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{7 x \ln (x)} (7 (1 + \ln (x) \cdot 1))$

خطوة 6.4

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$e^{7 x \ln (x)} (7 (1 + \ln (x)))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{7 x \ln (x)} (7 \cdot 1 + 7 \ln (x))$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{7 x \ln (x)} (7 \cdot 1) + e^{7 x \ln (x)} (7 \ln (x))$

خطوة 7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $7$ في $1$ .

$e^{7 x \ln (x)} \cdot 7 + e^{7 x \ln (x)} (7 \ln (x))$

خطوة 7.3.2

انقُل $7$ إلى يسار $e^{7 x \ln (x)}$ .

$7 e^{7 x \ln (x)} + e^{7 x \ln (x)} (7 \ln (x))$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$7 e^{7 x \ln (x)} \ln (x) + 7 e^{7 x \ln (x)}$