حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{\ln (3 x)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\ln (3 x)}$ في صورة ${\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \ln (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (3 x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 7.3

انقُل ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 8.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{3 x}$ في $\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3 x (2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 9.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 9.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.4.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (1)}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 12

اضرب $\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$