حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = a t - b t^{2}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 3

مشتق $\ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{t}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a t - b t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $a t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4

اضرب $a$ في $1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.5

بما أن $- b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- b t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- b \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b (2 t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.7.2

اجمع $3$ و $\frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 ((a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) a - \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1

أخرِج العامل $t$ من $a t$ .

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 a + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.2.1

أخرِج العامل $t$ من $- b t^{2}$ .

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 a + 3 (- b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{3 a - 3 (b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.4

اضرب $3 (- \ln (t) a)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.4.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - 3 (\ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.4.2

أعِد ترتيب $\ln (t)$ و $- 3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - 3 \cdot \ln (t) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.4.3

بسّط $- 3 \cdot \ln (t)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.5

اضرب $- \ln (t) (- 2 b t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.5.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (2 \ln (t) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.5.2

بسّط $2 \ln (t)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (\ln (t^{2}) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.6

اضرب $3 (\ln (t^{2}) (b t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.1

أعِد ترتيب $\ln (t^{2})$ و $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 \cdot \ln (t^{2}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.6.2

بسّط $3 \cdot \ln (t^{2})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln ({(t^{2})}^{3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.7

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{2 \cdot 3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.1.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - t^{2} b)}^{2}}$

خطوة 5.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $t$ من $a t - t^{2} b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

أخرِج العامل $t$ من $a t$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a - t^{2} b)}^{2}}$

خطوة 5.6.1.2

أخرِج العامل $t$ من $- t^{2} b$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a + t (- t b))}^{2}}$

خطوة 5.6.1.3

أخرِج العامل $t$ من $t a + t (- t b)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t (a - t b))}^{2}}$

خطوة 5.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $t (a - t b)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{t^{2} {(a - t b)}^{2}}$