حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{7 x}{x + 4}$ , $(3, 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{7 x}{x + 4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 4$ .

$7 \frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \frac{(x + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

اضرب $x + 4$ في $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$7 \frac{x + 4 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$7 \frac{0 + 4}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.4

أضف $0$ و $4$ .

$7 \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.5

اجمع $7$ و $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.6

اضرب $7$ في $4$ .

$\frac{28}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 3$ .

$\frac{28}{{((3) + 4)}^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أضف $3$ و $4$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$\frac{28}{49}$

خطوة 1.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $28$ و $49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $7$ من $28$ .

$\frac{7 (4)}{49}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

أخرِج العامل $7$ من $49$ .

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

خطوة 1.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{7}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{4}{7}$ ونقطة مُعطاة $(3, 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{4}{7} \cdot (x - (3))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{4}{7} \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{4}{7}$ و $x$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{4}{7} \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{4}{7}$ و $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4 \cdot - 3}{7}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $4$ في $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12}{7}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 3 = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3 \cdot \frac{7}{7}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $3$ و $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + \frac{3 \cdot 7}{7}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 3 \cdot 7}{7}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $3$ في $7$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 21}{7}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 12$ و $21$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{9}{7}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{4}{7} x + \frac{9}{7}$

خطوة 3