حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{2} + y^{2} = 57$ , $(- 4, 5)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 4$ و $y = 5$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (57)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 4 x$

خطوة 1.3

بما أن $57$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $57$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' + 4 x = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' = - 4 x$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $2 y y' = - 4 x$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = - 4 x$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

خطوة 1.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = - 4$ و $y = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$- \frac{2 (- 4)}{y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $5$ في العبارة.

$- \frac{2 (- 4)}{5}$

خطوة 1.7.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- \frac{- 8}{5}$

خطوة 1.7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{8}{5}$

خطوة 1.7.5

اضرب $- - \frac{8}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{8}{5})$

خطوة 1.7.5.2

اضرب $\frac{8}{5}$ في $1$ .

$\frac{8}{5}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{8}{5}$ ونقطة مُعطاة $(- 4, 5)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{8}{5} \cdot (x - (- 4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 5 = \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{8}{5} \cdot (x + 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 5 = \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 5 = \frac{8}{5} x + \frac{8}{5} \cdot 4$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{8}{5}$ و $x$ .

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{8}{5} \cdot 4$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{8}{5} \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{8}{5}$ و $4$ .

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{8 \cdot 4}{5}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $8$ في $4$ .

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + 5$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $5$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32 + 5 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $5$ في $5$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32 + 25}{5}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $32$ و $25$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{57}{5}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{8}{5} x + \frac{57}{5}$

خطوة 3