حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{2} + y^{2} = 12$ , $(2, - 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = - 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 4 x$

خطوة 1.3

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' + 4 x = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' = - 4 x$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $2 y y' = - 4 x$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = - 4 x$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

خطوة 1.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$- \frac{2 (2)}{y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $- 2$ في العبارة.

$- \frac{2 (2)}{- 2}$

خطوة 1.7.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{2}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot 2)$

خطوة 1.7.4

اضرب $- (- 1 \cdot 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- - 2$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $2$ ونقطة مُعطاة $(2, - 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 2 \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 2 = 2 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $2 \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 2 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 2 = 2 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 2 = 2 x + 2 \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y + 2 = 2 x - 4$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$y = 2 x - 4 - 2$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $2$ من $- 4$ .

$y = 2 x - 6$

خطوة 3