حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = - x^{2} + 1$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

خطوة 2.2

وسّع $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $x^{4}$ في $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $- x^{2}$ في $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.7

اضرب $1$ في $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

خطوة 2.3.2

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ و $x]_{- 1}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

خطوة 10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{5}}{5} + x$ في $1$ وفي $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

خطوة 10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.4

أضف $1$ و $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.8

اجمع $- 1$ و $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.10.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.10.2

اطرح $5$ من $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.12

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.13

اضرب $\frac{6}{5}$ في $1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.15

أضف $6$ و $6$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.16

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 10.2.3.17

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

خطوة 10.2.3.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

خطوة 10.2.3.19

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

خطوة 10.2.3.20

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

خطوة 10.2.3.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

خطوة 10.2.3.22

أضف $1$ و $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

خطوة 10.2.3.23

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

خطوة 10.2.3.24

اضرب $- 2$ في $2$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

خطوة 10.2.3.25

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

خطوة 10.2.3.26

لكتابة $\frac{12}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

خطوة 10.2.3.27

لكتابة $- \frac{4}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

خطوة 10.2.3.28

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.28.1

اضرب $\frac{12}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

خطوة 10.2.3.28.2

اضرب $5$ في $3$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

خطوة 10.2.3.28.3

اضرب $\frac{4}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

خطوة 10.2.3.28.4

اضرب $3$ في $5$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

خطوة 10.2.3.29

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

خطوة 10.2.3.30

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.30.1

اضرب $12$ في $3$ .

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

خطوة 10.2.3.30.2

اضرب $- 4$ في $5$ .

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

خطوة 10.2.3.30.3

اطرح $20$ من $36$ .

$V = π (\frac{16}{15})$

خطوة 10.2.3.31

اجمع $π$ و $\frac{16}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

خطوة 10.2.3.32

انقُل $16$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{16 π}{15}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{16 π}{15}$

الصيغة العشرية:

$V = 3.35103216 \dots$

خطوة 12