حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 - x^{2}$ , $y = x - 2$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$4 - x^{2} = x - 2$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 - x^{2} = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$4 - x^{2} - x = - 2$

خطوة 1.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$4 - x^{2} - x + 2 = 0$

خطوة 1.2.3

أضف $4$ و $2$ .

$- x^{2} - x + 6 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2} - x + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 6 = 0$

خطوة 1.2.4.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 6 = 0$

خطوة 1.2.4.1.3

أعِد كتابة $6$ بالصيغة $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 6 = 0$

خطوة 1.2.4.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 6 = 0$

خطوة 1.2.4.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} + x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} + x - 6) = 0$

خطوة 1.2.4.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

حلّل $x^{2} + x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 6$ ومجموعهما $1$ .

$- 2, 3 + y = x - 2$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 2) (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.4.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 2) (x + 3) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x - 2$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 1.2.7.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 2) (x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 3$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = (2) - 2$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $2$ عن $x$ في $y = (2) - 2$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 - 2$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (2) - 2$

خطوة 1.3.2.3

اطرح $2$ من $2$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3$ .

$y = (- 3) - 2$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $- 3$ عن $x$ في $y = (- 3) - 2$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 3 - 2$

خطوة 1.4.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (- 3) - 2$

خطوة 1.4.2.3

اطرح $2$ من $- 3$ .

$y = - 5$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(2, 0)$

$(- 3, - 5)$

$(2, 0)$

$(- 3, - 5)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $4$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 3}^{2} - x^{2} + 4 d x - \int_{- 3}^{2} x - 2 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 3$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 4 - (x - 2) d x$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} + 4 - x - - 2$

خطوة 4.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- x^{2} + 4 - x + 2$

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 4 - x + 2 d x$

خطوة 4.3

أضف $4$ و $2$ .

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} - x + 6 d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

خطوة 4.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

خطوة 4.11

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

خطوة 4.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $- 3$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

خطوة 4.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

خطوة 4.12.3

احسِب قيمة $6 x$ في $2$ وفي $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.3.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$- (\frac{8}{3} - - 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$- (\frac{8}{3} + 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.5

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.6

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.8.1

اضرب $9$ في $3$ .

$- \frac{8 + 27}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.8.2

أضف $8$ و $27$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.9

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.10

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.10.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.10.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.11

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.12

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.13

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{35}{3} - \frac{2 \cdot 2 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.15.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{4 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.15.2

اطرح $9$ من $4$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{- 5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{35}{3} - - \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.17

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{35}{3} + 1 (\frac{5}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.18

اضرب $\frac{5}{2}$ في $1$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.19

لكتابة $- \frac{35}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.20

لكتابة $\frac{5}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.21

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.21.1

اضرب $\frac{35}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.21.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.21.3

اضرب $\frac{5}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.21.4

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 35 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.23

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.23.1

اضرب $- 35$ في $2$ .

$\frac{- 70 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.23.2

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{- 70 + 15}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.23.3

أضف $- 70$ و $15$ .

$\frac{- 55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.24

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.25

اضرب $6$ في $2$ .

$- \frac{55}{6} + 12 - 6 \cdot - 3$

خطوة 4.12.4.26

اضرب $- 6$ في $- 3$ .

$- \frac{55}{6} + 12 + 18$

خطوة 4.12.4.27

أضف $12$ و $18$ .

$- \frac{55}{6} + 30$

خطوة 4.12.4.28

لكتابة $30$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + 30 \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 4.12.4.29

اجمع $30$ و $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + \frac{30 \cdot 6}{6}$

خطوة 4.12.4.30

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 55 + 30 \cdot 6}{6}$

خطوة 4.12.4.31

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.31.1

اضرب $30$ في $6$ .

$\frac{- 55 + 180}{6}$

خطوة 4.12.4.31.2

أضف $- 55$ و $180$ .

$\frac{125}{6}$

خطوة 5