إدخال مسألة...
حساب التفاضل والتكامل الأمثلة
خطوة 1
خطوة 1.1
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن هو حيث و.
خطوة 1.1.1
لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة لتصبح .
خطوة 1.1.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.1.3
استبدِل كافة حالات حدوث بـ .
خطوة 1.2
أوجِد المشتقة.
خطوة 1.2.1
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 1.2.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.2.3
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 1.2.4
بسّط العبارة.
خطوة 1.2.4.1
أضف و.
خطوة 1.2.4.2
اضرب في .
خطوة 1.2.4.3
أعِد ترتيب عوامل .
خطوة 2
خطوة 2.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 2.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن هو حيث و.
خطوة 2.3
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن هو حيث و.
خطوة 2.3.1
لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة لتصبح .
خطوة 2.3.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 2.3.3
استبدِل كافة حالات حدوث بـ .
خطوة 2.4
أوجِد المشتقة.
خطوة 2.4.1
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 2.4.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 2.4.3
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 2.4.4
بسّط العبارة.
خطوة 2.4.4.1
أضف و.
خطوة 2.4.4.2
اضرب في .
خطوة 2.5
ارفع إلى القوة .
خطوة 2.6
ارفع إلى القوة .
خطوة 2.7
استخدِم قاعدة القوة لتجميع الأُسس.
خطوة 2.8
أضف و.
خطوة 2.9
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 2.10
اضرب في .
خطوة 2.11
بسّط.
خطوة 2.11.1
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 2.11.2
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 2.11.3
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 2.11.4
جمّع الحدود.
خطوة 2.11.4.1
اضرب في بجمع الأُسس.
خطوة 2.11.4.1.1
انقُل .
خطوة 2.11.4.1.2
استخدِم قاعدة القوة لتجميع الأُسس.
خطوة 2.11.4.1.3
أضف و.
خطوة 2.11.4.2
انقُل إلى يسار .
خطوة 2.11.4.3
اضرب في .
خطوة 2.11.4.4
اضرب في .
خطوة 2.11.4.5
انقُل إلى يسار .
خطوة 2.11.4.6
اضرب في .
خطوة 2.11.5
بسّط كل حد.
خطوة 2.11.5.1
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 2.11.5.2
وسّع باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 2.11.5.2.1
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 2.11.5.2.2
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 2.11.5.2.3
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 2.11.5.3
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 2.11.5.3.1
بسّط كل حد.
خطوة 2.11.5.3.1.1
اضرب في بجمع الأُسس.
خطوة 2.11.5.3.1.1.1
استخدِم قاعدة القوة لتجميع الأُسس.
خطوة 2.11.5.3.1.1.2
أضف و.
خطوة 2.11.5.3.1.2
انقُل إلى يسار .
خطوة 2.11.5.3.1.3
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 2.11.5.3.1.4
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 2.11.5.3.1.5
اضرب في .
خطوة 2.11.5.3.2
اطرح من .
خطوة 2.11.5.4
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 2.11.5.5
بسّط.
خطوة 2.11.5.5.1
اضرب في .
خطوة 2.11.5.5.2
اضرب في .
خطوة 2.11.6
أضف و.
خطوة 2.11.7
اطرح من .
خطوة 3
لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ وأوجِد الحل.
خطوة 4
خطوة 4.1
أوجِد المشتق الأول.
خطوة 4.1.1
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن هو حيث و.
خطوة 4.1.1.1
لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة لتصبح .
خطوة 4.1.1.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 4.1.1.3
استبدِل كافة حالات حدوث بـ .
خطوة 4.1.2
أوجِد المشتقة.
خطوة 4.1.2.1
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 4.1.2.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 4.1.2.3
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 4.1.2.4
بسّط العبارة.
خطوة 4.1.2.4.1
أضف و.
خطوة 4.1.2.4.2
اضرب في .
خطوة 4.1.2.4.3
أعِد ترتيب عوامل .
خطوة 4.2
المشتق الأول لـ بالنسبة إلى هو .
خطوة 5
خطوة 5.1
عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 5.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي ، فالعبارة بأكملها تساوي .
خطوة 5.3
عيّن قيمة بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 5.4
عيّن قيمة العبارة بحيث تصبح مساوية لـ وأوجِد قيمة .
خطوة 5.4.1
عيّن قيمة بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 5.4.2
أوجِد قيمة في .
خطوة 5.4.2.1
حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.
خطوة 5.4.2.1.1
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 5.4.2.1.2
بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، حيث و.
خطوة 5.4.2.1.3
طبّق قاعدة الضرب على .
خطوة 5.4.2.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي ، فالعبارة بأكملها تساوي .
خطوة 5.4.2.3
عيّن قيمة العبارة بحيث تصبح مساوية لـ وأوجِد قيمة .
خطوة 5.4.2.3.1
عيّن قيمة بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 5.4.2.3.2
أوجِد قيمة في .
خطوة 5.4.2.3.2.1
عيّن قيمة بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 5.4.2.3.2.2
اطرح من كلا المتعادلين.
خطوة 5.4.2.4
عيّن قيمة العبارة بحيث تصبح مساوية لـ وأوجِد قيمة .
خطوة 5.4.2.4.1
عيّن قيمة بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 5.4.2.4.2
أوجِد قيمة في .
خطوة 5.4.2.4.2.1
عيّن قيمة بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 5.4.2.4.2.2
أضف إلى كلا المتعادلين.
خطوة 5.4.2.5
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة صحيحة.
خطوة 5.5
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة صحيحة.
خطوة 6
خطوة 6.1
نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.
خطوة 7
النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.
خطوة 8
احسِب قيمة المشتق الثاني في . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.
خطوة 9
خطوة 9.1
بسّط كل حد.
خطوة 9.1.1
ينتج عن رفع إلى أي قوة موجبة.
خطوة 9.1.2
اضرب في .
خطوة 9.1.3
ينتج عن رفع إلى أي قوة موجبة.
خطوة 9.1.4
اضرب في .
خطوة 9.2
بسّط بجمع الأعداد.
خطوة 9.2.1
أضف و.
خطوة 9.2.2
أضف و.
خطوة 10
هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.
هي حد أدنى محلي
خطوة 11
خطوة 11.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 11.2
بسّط النتيجة.
خطوة 11.2.1
ينتج عن رفع إلى أي قوة موجبة.
خطوة 11.2.2
اطرح من .
خطوة 11.2.3
ارفع إلى القوة .
خطوة 11.2.4
الإجابة النهائية هي .
خطوة 12
احسِب قيمة المشتق الثاني في . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.
خطوة 13
خطوة 13.1
بسّط كل حد.
خطوة 13.1.1
ارفع إلى القوة .
خطوة 13.1.2
اضرب في .
خطوة 13.1.3
ارفع إلى القوة .
خطوة 13.1.4
اضرب في .
خطوة 13.2
بسّط عن طريق الجمع والطرح.
خطوة 13.2.1
اطرح من .
خطوة 13.2.2
أضف و.
خطوة 14
خطوة 14.1
قسّم إلى فترات منفصلة حول قيم التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ أو غير معرّف.
خطوة 14.2
عوّض بأي عدد، مثل ، من الفترة في المشتق الأول للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.
خطوة 14.2.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 14.2.2
بسّط النتيجة.
خطوة 14.2.2.1
اضرب في .
خطوة 14.2.2.2
ارفع إلى القوة .
خطوة 14.2.2.3
اطرح من .
خطوة 14.2.2.4
ارفع إلى القوة .
خطوة 14.2.2.5
اضرب في .
خطوة 14.2.2.6
الإجابة النهائية هي .
خطوة 14.3
عوّض بأي عدد، مثل ، من الفترة في المشتق الأول للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.
خطوة 14.3.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 14.3.2
بسّط النتيجة.
خطوة 14.3.2.1
اضرب في .
خطوة 14.3.2.2
ارفع إلى القوة .
خطوة 14.3.2.3
اطرح من .
خطوة 14.3.2.4
ارفع إلى القوة .
خطوة 14.3.2.5
اضرب في .
خطوة 14.3.2.6
الإجابة النهائية هي .
خطوة 14.4
عوّض بأي عدد، مثل ، من الفترة في المشتق الأول للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.
خطوة 14.4.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 14.4.2
بسّط النتيجة.
خطوة 14.4.2.1
اضرب في .
خطوة 14.4.2.2
ارفع إلى القوة .
خطوة 14.4.2.3
اطرح من .
خطوة 14.4.2.4
ارفع إلى القوة .
خطوة 14.4.2.5
اضرب في .
خطوة 14.4.2.6
الإجابة النهائية هي .
خطوة 14.5
عوّض بأي عدد، مثل ، من الفترة في المشتق الأول للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.
خطوة 14.5.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 14.5.2
بسّط النتيجة.
خطوة 14.5.2.1
اضرب في .
خطوة 14.5.2.2
ارفع إلى القوة .
خطوة 14.5.2.3
اطرح من .
خطوة 14.5.2.4
ارفع إلى القوة .
خطوة 14.5.2.5
اضرب في .
خطوة 14.5.2.6
الإجابة النهائية هي .
خطوة 14.6
بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.
لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا
خطوة 14.7
بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول ، إذن تمثل حدًا أدنى محليًا.
هي حد أدنى محلي
خطوة 14.8
بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.
لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا
خطوة 14.9
هذه هي القيم القصوى المحلية لـ .
هي حد أدنى محلي
هي حد أدنى محلي
خطوة 15