حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{4} + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

خطوة 1.2.3

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

خطوة 1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

خطوة 1.2.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

خطوة 1.2.4.3

اجمع $\frac{4}{x^{4} + 27}$ و $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.3.5

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.4

اضرب $x^{3}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.4.3

أضف $3$ و $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

خطوة 2.5

اجمع $4$ و $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.1

اضرب $x^{4}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.1.3

أضف $2$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.3

اضرب $3$ في $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.4

اضرب $81$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.5

اضرب $- 4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.2

اطرح $16 x^{6}$ من $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

خطوة 4.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

خطوة 4.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

خطوة 4.1.2.3

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

خطوة 4.1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

خطوة 4.1.2.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

خطوة 4.1.2.4.3

اجمع $\frac{4}{x^{4} + 27}$ و $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x^{3} = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $4 x^{3} = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اقسِم كل حد في $4 x^{3} = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 5.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 5.3.1.2.1.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

خطوة 5.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.3.3

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.1.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.1.4

اضرب $324$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.1.5

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

أضف $0$ و $27$ .

$\frac{0}{27^{2}}$

خطوة 9.2.3

ارفع $27$ إلى القوة $2$ .

$\frac{0}{729}$

خطوة 9.3

اقسِم $0$ على $729$ .

$0$

خطوة 10

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 10.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

خطوة 10.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

خطوة 10.2.2.2.2

أضف $16$ و $27$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

خطوة 10.2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.3.1

اضرب $4$ في $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

خطوة 10.2.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

خطوة 10.2.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{32}{43}$ .

$- \frac{32}{43}$

خطوة 10.3

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

خطوة 10.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

خطوة 10.3.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

خطوة 10.3.2.1.3

أضف $2$ و $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

خطوة 10.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

خطوة 10.3.2.2.2

أضف $16$ و $27$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

خطوة 10.3.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{43}$

خطوة 10.3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{32}{43}$ .

$\frac{32}{43}$

خطوة 10.4

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11