حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (π x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $π x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

خطوة 1.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $π$ في $1$ .

$- \sin (π x) π$

خطوة 1.2.3.2

أعِد ترتيب عوامل $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- π \sin (π x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $π x$ .

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π x$ .

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

خطوة 2.3

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

خطوة 2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- π \sin (π x) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- π \sin (π x) = 0$ على $- π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- π \sin (π x) = 0$ على $- π$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $\sin (π x)$ على $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

خطوة 5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$π x = \arcsin (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$π x = 0$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $π x = 0$ على $π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $π x = 0$ على $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اقسِم $0$ على $π$ .

$x = 0$

خطوة 8

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$π x = π - 0$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$π x = π + 0$

خطوة 9.1.2

أضف $π$ و $0$ .

$π x = π$

خطوة 9.2

اقسِم كل حد في $π x = π$ على $π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في $π x = π$ على $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

خطوة 9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

خطوة 9.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

خطوة 9.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{π}{π}$

خطوة 9.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 1$

خطوة 10

حل المعادلة $π x = 0$ .

$x = 0, 1$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- π^{2} \cos (π (0))$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $π$ في $0$ .

$- π^{2} \cos (0)$

خطوة 12.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- π^{2} \cdot 1$

خطوة 12.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- π^{2}$

خطوة 13

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \cos (π (0))$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اضرب $π$ في $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

خطوة 14.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (0) = 1$

خطوة 14.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- π^{2} \cos (π (1))$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اضرب $π$ في $1$ .

$- π^{2} \cos (π)$

خطوة 16.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- π^{2} (- \cos (0))$

خطوة 16.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- π^{2} \cdot - 1$

خطوة 16.5

اضرب $- π^{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 π^{2}$

خطوة 16.5.2

اضرب $π^{2}$ في $1$ .

$π^{2}$

خطوة 17

$x = 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 18

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \cos (π (1))$

خطوة 18.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اضرب $π$ في $1$ .

$f (1) = \cos (π)$

خطوة 18.2.2

$f (1) = - \cos (0)$

خطوة 18.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

خطوة 18.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = - 1$

خطوة 18.2.5

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 19

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \cos (π x)$ .

$(0, 1)$ هي نقطة قصوى محلية

$(1, - 1)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 20