حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

خطوة 1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x \ln (x) + x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x \ln (x) + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.2.5

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.2.7

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

خطوة 2.4.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 x \ln (x) + x = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

خطوة 4.1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x \ln (x) + x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

خطوة 5.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$2 x \ln (x) = - x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 x \ln (x) = - x$ على $2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 x \ln (x) = - x$ على $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 5.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 6.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

انقُل $e^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

خطوة 9.1.2

وسّع $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ بنقل $- \frac{1}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

خطوة 9.1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

خطوة 9.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

خطوة 9.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

خطوة 9.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 + 3$

خطوة 9.2

أضف $- 1$ و $3$ .

$2$

خطوة 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.2.2.2

بسّط.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.2.3

انقُل $e^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 11.2.4

وسّع $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ بنقل $- \frac{1}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

خطوة 11.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

خطوة 11.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

خطوة 11.2.7

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

خطوة 11.2.8

انقُل $2$ إلى يسار $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

خطوة 11.2.9

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{2 e}$ .

$y = - \frac{1}{2 e}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13