حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x^{2}}{5 x - x^{2}}$

خطوة 1

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

خطوة 2.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

خطوة 2.2.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

خطوة 2.2.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

خطوة 2.2.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

خطوة 2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

خطوة 2.5

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

خطوة 3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{3}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 4.3

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

خطوة 6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

خطوة 6.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{0 + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

خطوة 6.2.1.3

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

خطوة 6.2.2.3

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$- 1$