حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{8} - 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ و ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ من ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم ${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

خطوة 2.2.3

أضف $n$ و $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

خطوة 2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

خطوة 2.2.5

اطرح $n$ من $n$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.6

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$r = \frac{1}{3}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ في $- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{0}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$a = - 4 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

خطوة 3.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = - 4 \frac{1}{3^{0}}$

خطوة 3.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = - 4 \cdot 1$

خطوة 3.2.6

اضرب $- 4$ في $1$ .

$a = - 4$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- 4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

خطوة 5.1.2

اجمع.

$- 4 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $3$ في $1$ .

$- 4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$- 4 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ إلى بسط الكسر.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $3$ من $3^{8}$ .

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.5

ارفع $3$ إلى القوة $7$ .

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 4 \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.8

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2187}{2187}$ .

$- 4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.9

اجمع $3$ و $\frac{2187}{2187}$ .

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.1

اضرب $3$ في $2187$ .

$- 4 \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11.2

اطرح $1$ من $6561$ .

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $3$ في $1$ .

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

خطوة 5.5.2

اطرح $1$ من $3$ .

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

خطوة 5.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

خطوة 5.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 2 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (\frac{6560}{2187})$

خطوة 5.7

اجمع $- 2$ و $\frac{6560}{2187}$ .

$\frac{- 2 \cdot 6560}{2187}$

خطوة 5.8

اضرب $- 2$ في $6560$ .

$\frac{- 13120}{2187}$

خطوة 5.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{13120}{2187}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{13120}{2187}$

الصيغة العشرية:

$- 5.99908550 \dots$

صيغة العدد الذي به كسر:

$- 5 \frac{2185}{2187}$