حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\ln ({(x)}^{4})}{x} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{\ln (x^{4})}{x}$ بالصيغة $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{4 \ln (x)}{x} d x$

خطوة 2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 \int u d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ بالصيغة $4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} u^{2} + C$

خطوة 5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} u^{2} + C$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} u^{2} + C$

خطوة 5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

خطوة 5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} u^{2} + C$

خطوة 5.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 u^{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$2 \ln^{2} (x) + C$