حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 2 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.6

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أعِد كتابة $4 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $2 \sec (t)$ من $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \sec (t) d t$

خطوة 3

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |) + C$

خطوة 5

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} x)) |) + C$