حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2}}{4 + x^{2}} d x$

خطوة 1

أعِد ترتيب $4$ و $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 2

اقسِم $x^{2}$ على $x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0 + 4$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$4$

خطوة 2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - \int \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$x + C - (4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 7.2

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $4$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

خطوة 7.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$x + C - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$x + C - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

خطوة 9.2

بسّط.

$x - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$x - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$