حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} \ln (3 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (3 x)$ و $d v = x^{2}$ .

$\ln (3 x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\ln (3 x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

اجمع $\ln (3 x)$ و $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

خطوة 4.2.2.5

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} \ln (3 x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{1}{3} \ln (3 x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (3 x)$ .

$\frac{\ln (3 x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 6.2.2

اجمع $\frac{\ln (3 x)}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 6.2.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

خطوة 6.2.4

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$

خطوة 6.3

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (3 x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C$

خطوة 6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} \ln (3 x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$