حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

خطوة 2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

خطوة 2.2.1.3

أضف $1$ و $3$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

خطوة 2.2.1.4

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.1.5

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

خطوة 2.2.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 2.2.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة ${\sec (t)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (t)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \tan (t)$ . إذن $d u = \sec^{2} (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \tan (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\tan (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

خطوة 5

اضرب $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 6.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (t)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$