حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u = t^{3} + 2$ . إذن $d u = 3 t^{2} d t$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = t^{3} + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $t^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} + 2]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{3} + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [2]$

خطوة 2.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$3 t^{2} + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $3 t^{2}$ و $0$ .

$3 t^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.3

اضرب $\int \sqrt{u} d u$ في $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{3} + 2$ .

$\frac{2}{3} {(t^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$