حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 5 + 4 x^{3}$ . إذن $d u = 12 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 5 + 4 x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 4 x^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

خطوة 2.1.4

أضف $0$ و $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \sqrt[4]{u} \frac{1}{12} d u$

خطوة 3

اجمع $\sqrt[4]{u}$ و $\frac{1}{12}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[4]{u}}{12} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{12}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{12} \int \sqrt[4]{u} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{12}$ و $2$ .

$\frac{2}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

خطوة 5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} \int \sqrt[4]{u} d u$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{4}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{4}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{6 \cdot 5} u^{\frac{5}{4}} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $6$ في $5$ .

$\frac{4}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (2)}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $30$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{4}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{2}{15} {(5 + 4 x^{3})}^{\frac{5}{4}} + C$