حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + x^{12}$ . إذن $d u = 12 x^{11} d x$ ، لذا $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + x^{12}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{12}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 12$ .

$0 + 12 x^{11}$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $12 x^{11}$ .

$12 x^{11}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{11}$ و $\frac{1}{12}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{12}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{11}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{12} u^{12}$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{12}$ و $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

خطوة 5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4096$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

خطوة 5.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

خطوة 5.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

خطوة 5.2.6

لكتابة $\frac{1024}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

خطوة 5.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $12$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

اضرب $\frac{1024}{3}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

خطوة 5.2.7.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

خطوة 5.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

خطوة 5.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

اضرب $1024$ في $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

خطوة 5.2.9.2

اطرح $1$ من $4096$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

خطوة 5.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $4095$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $4095$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

خطوة 5.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

خطوة 5.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

خطوة 5.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

خطوة 5.2.11

اضرب $\frac{1}{12}$ في $\frac{1365}{4}$ .

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

خطوة 5.2.12

اضرب $12$ في $4$ .

$\frac{1365}{48}$

خطوة 5.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $1365$ و $48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.1

أخرِج العامل $3$ من $1365$ .

$\frac{3 (455)}{48}$

خطوة 5.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.2.1

أخرِج العامل $3$ من $48$ .

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

خطوة 5.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

خطوة 5.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{455}{16}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{455}{16}$

الصيغة العشرية:

$28.4375$

صيغة العدد الذي به كسر:

$28 \frac{7}{16}$

خطوة 7