حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 5 x \cos (4 x) d x$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int x \cos (4 x) d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \cos (4 x)$ .

$5 (x (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (4 x)$ .

$5 (x \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (4 x)$ .

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{\sin (4 x)}{4} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \int \sin (4 x) d x))$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

خطوة 6

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{4} d u)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u) d u)$

خطوة 8.2

اضرب $4$ في $4$ .

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} \int \sin (u) d u)$

خطوة 9

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$

خطوة 10

أعِد كتابة $5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$ بالصيغة $5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$ .

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$5 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (4 x)}{16}) + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$5 (\frac{1}{4} x \sin (4 x) + \frac{1}{16} \cos (4 x)) + C$