حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + y^{2} = 8 x$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = 8 x - x^{2}$

خطوة 1.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{8 x - x^{2}}$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $x$ من $8 x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $8 x$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 - x^{2}}$

خطوة 1.3.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 + x (- x)}$

خطوة 1.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 8 + x (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{x (8 - x)}$

خطوة 1.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

خطوة 1.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

خطوة 1.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 8 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (8 x)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

خطوة 3.2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 2 x$

خطوة 3.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

خطوة 3.3.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' + 2 x = 8$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' = 8 - 2 x$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $2 y y' = 8 - 2 x$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = 8 - 2 x$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 3.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 3.5.2.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 3.5.2.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 3.5.2.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- x}{y}$

خطوة 3.5.2.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{4}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $\frac{4}{y}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{x}{y} = - \frac{4}{y}$

خطوة 4.2

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$- x = - 4$

خطوة 4.3

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.3.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x = 4$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = \sqrt{(4) (8 - (4))}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (4) = \sqrt{4 (8 - 4)}$

خطوة 5.2.2

اطرح $4$ من $8$ .

$f (4) = \sqrt{4 \cdot 4}$

خطوة 5.2.3

اضرب $4$ في $4$ .

$f (4) = \sqrt{16}$

خطوة 5.2.4

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (4) = \sqrt{4^{2}}$

خطوة 5.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (4) = 4$

خطوة 5.2.6

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = - \sqrt{(4) (8 - (4))}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (4) = - \sqrt{4 (8 - 4)}$

خطوة 6.2.2

اطرح $4$ من $8$ .

$f (4) = - \sqrt{4 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3

اضرب $4$ في $4$ .

$f (4) = - \sqrt{16}$

خطوة 6.2.4

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (4) = - \sqrt{4^{2}}$

خطوة 6.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (4) = - 1 \cdot 4$

خطوة 6.2.6

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (4) = - 4$

خطوة 6.2.7

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 7

The horizontal tangent lines are $y = 4, y = - 4$

$y = 4, y = - 4$

خطوة 8