حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

خطوة 1.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

خطوة 1.4.2.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

خطوة 1.4.2.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (2 x) - \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

خطوة 4

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 5

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

خطوة 6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 7.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 7.2.5

حل المعادلة $x = 0$ .

$x = 0, π$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $2 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 8.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = 1$

خطوة 8.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 8.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 8.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 8.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 8.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 8.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 8.2.6

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 8.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 8.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 8.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 8.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 8.2.7

حل المعادلة $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

خطوة 9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (0)$

خطوة 11.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

خطوة 11.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 - \cos (0)$

خطوة 11.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

خطوة 11.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 - 1$

خطوة 11.2

اطرح $1$ من $2$ .

$1$

خطوة 12

$x = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

خطوة 13.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + \cos (0)$

خطوة 13.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

خطوة 13.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = 1$

خطوة 13.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = π$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$2 \cos (0) - \cos (π)$

خطوة 15.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

خطوة 15.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 - \cos (π)$

خطوة 15.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$2 - - \cos (0)$

خطوة 15.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 15.1.6

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 - - 1$

خطوة 15.1.6.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 + 1$

خطوة 15.2

أضف $2$ و $1$ .

$3$

خطوة 16

$x = π$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 17

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

خطوة 17.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

خطوة 17.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

خطوة 17.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (π) = 0 + \cos (π)$

خطوة 17.2.1.4

$f (π) = 0 - \cos (0)$

خطوة 17.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 17.2.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (π) = 0 - 1$

خطوة 17.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$f (π) = - 1$

خطوة 17.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 18

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 19

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

اجمع $2$ و $\frac{π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 19.1.2

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 19.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 19.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 19.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 19.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 19.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

خطوة 19.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 19.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 19.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 19.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

خطوة 19.5.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

خطوة 19.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2}$

خطوة 20

$x = \frac{π}{3}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 21

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 21.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

خطوة 21.2.2

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 21.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 21.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

خطوة 21.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

خطوة 21.2.5

أضف $3$ و $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

خطوة 21.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

خطوة 22

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{5 π}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 23

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.1

اضرب $2 (\frac{5 π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.1.1

اجمع $2$ و $\frac{5 π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 23.1.1.2

اضرب $5$ في $2$ .

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 23.1.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 23.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 23.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 23.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 23.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 23.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 23.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 23.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

خطوة 23.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 23.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 23.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 23.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

خطوة 23.5.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

خطوة 23.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2}$

خطوة 24

$x = \frac{5 π}{3}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{5 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 25

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{5 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.3

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.5

اضرب $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

خطوة 25.2.1.8

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 25.2.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

خطوة 25.2.2

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 25.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 25.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

خطوة 25.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

خطوة 25.2.5

أضف $3$ و $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

خطوة 25.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

خطوة 26

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ هي نقاط دنيا محلية

$(π, - 1)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 27