حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 7 - x^{2}$ , $y = x + 5$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$7 - x^{2} = x + 5$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 - x^{2} = x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$7 - x^{2} - x = 5$

خطوة 1.2.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$7 - x^{2} - x - 5 = 0$

خطوة 1.2.3

اطرح $5$ من $7$ .

$- x^{2} - x + 2 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2} - x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 2 = 0$

خطوة 1.2.4.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 2 = 0$

خطوة 1.2.4.1.3

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.2.4.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.2.4.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} + x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

خطوة 1.2.4.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

حلّل $x^{2} + x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2 + y = x + 5$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

خطوة 1.2.4.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = x + 5$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 1.2.7.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 1) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = (1) + 5$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $1$ عن $x$ في $y = (1) + 5$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 1 + 5$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (1) + 5$

خطوة 1.3.2.3

أضف $1$ و $5$ .

$y = 6$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

$y = (- 2) + 5$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $- 2$ عن $x$ في $y = (- 2) + 5$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 2 + 5$

خطوة 1.4.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (- 2) + 5$

خطوة 1.4.2.3

أضف $- 2$ و $5$ .

$y = 3$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(1, 6)$

$(- 2, 3)$

$(1, 6)$

$(- 2, 3)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $7$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 7$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 d x - \int_{- 2}^{1} x + 5 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 2$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 - (x + 5) d x$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} + 7 - x - 1 \cdot 5$

خطوة 4.2.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- x^{2} + 7 - x - 5$

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 - x - 5 d x$

خطوة 4.3

اطرح $5$ من $7$ .

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} - x + 2 d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

خطوة 4.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

خطوة 4.11

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

خطوة 4.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $- 2$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

خطوة 4.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $- 2$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

خطوة 4.12.3

احسِب قيمة $2 x$ في $1$ وفي $- 2$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.5

اضرب $\frac{8}{3}$ في $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1 + 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.7

أضف $1$ و $8$ .

$- \frac{9}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.8

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.8.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.8.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$- 1 \cdot 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.9

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.11

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.12

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.12.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.12.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.13

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - 2) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.14

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.15

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 3 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.17

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.17.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 3 - \frac{1 - 4}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.17.2

اطرح $4$ من $1$ .

$- 3 - \frac{- 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 3 - - \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.19

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 3 + 1 (\frac{3}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.20

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$- 3 + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.21

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.22

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.24

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.24.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{- 6 + 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.24.2

أضف $- 6$ و $3$ .

$\frac{- 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.25

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.26

اضرب $2$ في $1$ .

$- \frac{3}{2} + 2 - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.12.4.27

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 + 4$

خطوة 4.12.4.28

أضف $2$ و $4$ .

$- \frac{3}{2} + 6$

خطوة 4.12.4.29

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 4.12.4.30

اجمع $6$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

خطوة 4.12.4.31

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 + 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 4.12.4.32

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.32.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{- 3 + 12}{2}$

خطوة 4.12.4.32.2

أضف $- 3$ و $12$ .

$\frac{9}{2}$

خطوة 5