حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{3}$ ,

$y = 4 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{3} = 4 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة

$x$ في

$x^{3} = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح

$4 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{3} - 4 x = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل

$x$ من

$x^{3} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أخرِج العامل

$x$ من

$x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل

$x$ من

$- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل

$x$ من

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة

$4$ بالصيغة

$2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

خطوة 1.2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين،

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث

$a = x$ و

$b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

خطوة 1.2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

$0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0 + y = 4 x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة

$x$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة

$x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ وأوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة

$x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 1.2.5.2

اطرح

$2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة

$x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ وأوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة

$x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف

$2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

$x (x + 2) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2, 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة

$y$ عندما تكون

$x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة

$x$ التي تساوي

$0$ .

$y = 4 (0)$

خطوة 1.3.2

اضرب

$4$ في

$0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة

$y$ عندما تكون

$x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة

$x$ التي تساوي

$- 2$ .

$y = 4 (- 2)$

خطوة 1.4.2

اضرب

$4$ في

$- 2$ .

$y = - 8$

خطوة 1.5

احسِب قيمة

$y$ عندما تكون

$x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عوّض بقيمة

$x$ التي تساوي

$2$ .

$y = 4 (2)$

خطوة 1.5.2

اضرب

$4$ في

$2$ .

$y = 8$

خطوة 1.6

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 2}^{0} x^{3} d x - \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين

$- 2$ و

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - (4 x) d x$

خطوة 3.2

اضرب

$4$ في

$- 1$ .

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - 4 x d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$x^{3}$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

خطوة 3.5

بما أن

$- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، انقُل

$- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 \int_{- 2}^{0} x d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$x$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

خطوة 3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

خطوة 3.7.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

احسِب قيمة

$\frac{1}{4} x^{4}$ في

$0$ وفي

$- 2$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

خطوة 3.7.2.2

احسِب قيمة

$\frac{x^{2}}{2}$ في

$0$ وفي

$- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.1

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.2

اضرب

$\frac{1}{4}$ في

$0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.3

ارفع

$- 2$ إلى القوة

$4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.4

اضرب

$16$ في

$- 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.5

اجمع

$- 16$ و

$\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 16}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6

احذِف العامل المشترك لـ

$- 16$ و

$4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.6.1

أخرِج العامل

$4$ من

$- 16$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.6.2.1

أخرِج العامل

$4$ من

$4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{- 4}{1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6.2.4

اقسِم

$- 4$ على

$1$ .

$0 - 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.7

اطرح

$4$ من

$0$ .

$- 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.8

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 4 - 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ

$0$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.9.1

أخرِج العامل

$2$ من

$0$ .

$- 4 - 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.9.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$2$ .

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9.2.4

اقسِم

$0$ على

$1$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.10

ارفع

$- 2$ إلى القوة

$2$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{4}{2})$

خطوة 3.7.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ

$4$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.11.1

أخرِج العامل

$2$ من

$4$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

خطوة 3.7.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.11.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$2$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

خطوة 3.7.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.7.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2}{1})$

خطوة 3.7.2.3.11.2.4

اقسِم

$2$ على

$1$ .

$- 4 - 4 (0 - 1 \cdot 2)$

خطوة 3.7.2.3.12

اضرب

$- 1$ في

$2$ .

$- 4 - 4 (0 - 2)$

خطوة 3.7.2.3.13

اطرح

$2$ من

$0$ .

$- 4 - 4 \cdot - 2$

خطوة 3.7.2.3.14

اضرب

$- 4$ في

$- 2$ .

$- 4 + 8$

خطوة 3.7.2.3.15

أضف

$- 4$ و

$8$ .

$4$

خطوة 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين

$0$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{2} 4 x - (x^{3}) d x$

خطوة 5.2

اضرب

$- 1$ في

$x^{3}$ .

$\int_{0}^{2} 4 x - x^{3} d x$

خطوة 5.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{2} 4 x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

خطوة 5.4

بما أن

$4$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، انقُل

$4$ خارج التكامل.

$4 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$x$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

خطوة 5.6

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

خطوة 5.7

بما أن

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، انقُل

$- 1$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

خطوة 5.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$x^{3}$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

خطوة 5.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اجمع

$\frac{1}{4}$ و

$x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

خطوة 5.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1

احسِب قيمة

$\frac{x^{2}}{2}$ في

$2$ وفي

$0$ .

$4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

خطوة 5.9.2.2

احسِب قيمة

$\frac{x^{4}}{4}$ في

$2$ وفي

$0$ .

$4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.3.1

ارفع

$2$ إلى القوة

$2$ .

$4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ

$4$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.3.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$4$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.3.2.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.2.2.4

اقسِم

$2$ على

$1$ .

$4 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.3

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ

$0$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.3.4.1

أخرِج العامل

$2$ من

$0$ .

$4 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.3.4.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$2$ .

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.4.2.4

اقسِم

$0$ على

$1$ .

$4 (2 - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.5

اضرب

$- 1$ في

$0$ .

$4 (2 + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.6

أضف

$2$ و

$0$ .

$4 \cdot 2 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.7

اضرب

$4$ في

$2$ .

$8 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.8

ارفع

$2$ إلى القوة

$4$ .

$8 - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ

$16$ و

$4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.3.9.1

أخرِج العامل

$4$ من

$16$ .

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.3.9.2.1

أخرِج العامل

$4$ من

$4$ .

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.9.2.4

اقسِم

$4$ على

$1$ .

$8 - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 5.9.2.3.10

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$8 - (4 - \frac{0}{4})$

خطوة 5.9.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ

$0$ و

$4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.3.11.1

أخرِج العامل

$4$ من

$0$ .

$8 - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

خطوة 5.9.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.3.11.2.1

أخرِج العامل

$4$ من

$4$ .

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

خطوة 5.9.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

خطوة 5.9.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 - (4 - \frac{0}{1})$

خطوة 5.9.2.3.11.2.4

اقسِم

$0$ على

$1$ .

$8 - (4 - 0)$

خطوة 5.9.2.3.12

اضرب

$- 1$ في

$0$ .

$8 - (4 + 0)$

خطوة 5.9.2.3.13

أضف

$4$ و

$0$ .

$8 - 1 \cdot 4$

خطوة 5.9.2.3.14

اضرب

$- 1$ في

$4$ .

$8 - 4$

خطوة 5.9.2.3.15

اطرح

$4$ من

$8$ .

$4$

خطوة 6

أضف

$4$ و

$4$ .

$8$

خطوة 7