حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{2} + y^{2} = 17$ , $(2, 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (17)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 4 x$

خطوة 1.3

بما أن $17$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $17$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' + 4 x = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' = - 4 x$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $2 y y' = - 4 x$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = - 4 x$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

خطوة 1.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$- \frac{2 (2)}{y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $3$ في العبارة.

$- \frac{2 (2)}{3}$

خطوة 1.7.3

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{4}{3}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{4}{3}$ ونقطة مُعطاة $(2, 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3})$

خطوة 2.3.1.5.2

اجمع $2$ و $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3}$

خطوة 2.3.1.5.3

اضرب $2$ في $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $3$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 3 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $3$ في $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 9}{3}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $8$ و $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{17}{3}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{17}{3}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{17}{3}$

خطوة 3