حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sin (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

خطوة 9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

خطوة 10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

خطوة 11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

خطوة 12

أضف $1$ و $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

خطوة 13.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

خطوة 13.3

أعِد كتابة $4 \cos^{2} (x)$ بالصيغة ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

خطوة 13.4

أعِد كتابة $4 \sin^{2} (x)$ بالصيغة ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

خطوة 13.5

أعِد ترتيب $- {(2 \sin (x))}^{2}$ و ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

خطوة 13.6

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 \cos (x)$ و $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

خطوة 13.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

خطوة 13.8

وسّع $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

خطوة 13.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

خطوة 13.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 13.9

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ و $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 13.9.2

أضف $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ و $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 13.9.3

أضف $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ و $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 13.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.10.1

اضرب $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.10.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 13.10.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 13.10.1.3

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 13.10.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 13.10.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 13.10.2

اضرب $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.10.2.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

خطوة 13.10.2.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

خطوة 13.10.2.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

خطوة 13.10.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

خطوة 13.10.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$