حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{5 x}{1 + x^{2}}$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 x}{1 + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$5 \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $1 + x^{2}$ في $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$5 \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 9

اجمع $5$ و $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{5 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{5 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{5 - 5 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 5 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$