حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x + 3)}^{2} e^{4 x}$

خطوة 1

أعِد كتابة ${(x + 3)}^{2}$ بالصيغة $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) e^{4 x}]$

خطوة 2

وسّع $(x + 3) (x + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 3) + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

خطوة 3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

خطوة 3.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

خطوة 3.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) e^{4 x}]$

خطوة 3.2

أضف $3 x$ و $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ و $g (x) = e^{4 x}$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

خطوة 6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

خطوة 6.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}$ .

$4 \cdot ((x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

خطوة 6.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 6 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 6.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 6.6

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 6.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 6.8

اضرب $6$ في $1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 6.9

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + 0)$

خطوة 6.10

أضف $2 x + 6$ و $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

خطوة 7.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $6$ في $4$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

خطوة 7.4.2

اضرب $4$ في $9$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

خطوة 7.4.3

انقُل $6$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + 6 \cdot e^{4 x}$

خطوة 7.4.4

أضف $24 x e^{4 x}$ و $e^{4 x} (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.4.1

انقُل $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

خطوة 7.4.4.2

أضف $24 x e^{4 x}$ و $2 x e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

خطوة 7.4.5

أضف $36 e^{4 x}$ و $6 e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

خطوة 7.5

أعِد ترتيب الحدود.

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$

خطوة 7.6

أعِد ترتيب العوامل في $4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$