حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = \frac{x}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{y}$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.5

اجمع $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ و $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 + y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

خطوة 5.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

خطوة 5.2.1.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

خطوة 5.2.1.1.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

خطوة 5.2.1.1.3.3

انقُل $x$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

خطوة 5.2.1.1.3.4

أعِد ترتيب $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ و $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $(1 + y') y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2.2

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $y' y^{2}$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $y' y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

خطوة 5.3.2

اطرح $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ من كلا المتعادلين.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $- 1 y^{2}$ بالصيغة $- y^{2}$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

خطوة 5.3.6

اقسِم كل حد في $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ على $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

اقسِم كل حد في $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ على $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

خطوة 5.3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.3.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

خطوة 5.3.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.1

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

خطوة 5.3.6.3.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

خطوة 5.3.6.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

خطوة 5.3.6.3.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

خطوة 5.3.6.3.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ .

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

خطوة 5.3.6.3.2.2

أعِد كتابة $- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ بالصيغة $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

خطوة 5.3.6.3.3

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

خطوة 5.3.6.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

خطوة 5.3.6.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

خطوة 5.3.6.3.3.4

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.3.4.1

أعِد كتابة $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ بالصيغة $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

خطوة 5.3.6.3.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$