حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 y^{2} = \frac{4 x - 3}{4 x + 3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x - 3}{4 x + 3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3

اضرب $2$ في $5$ .

$10 (y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$10 y y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 4 x - 3$ و $g (x) = 4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $4 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (4 x + 3) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.8

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.10

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.11

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.12.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.12.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

اطرح $4 (4 x)$ من $4 (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.2

أضف $4 \cdot 3$ و $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.2.2

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$\frac{12 + 12}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.3

أضف $12$ و $12$ .

$\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ على $10 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ على $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

خطوة 5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

خطوة 5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{1}{10 y}$

خطوة 5.3.2

اجمع.

$y' = \frac{24 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

خطوة 5.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $24 \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

خطوة 5.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من ${(4 x + 3)}^{2} (10 y)$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

خطوة 5.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

خطوة 5.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{12 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (5 y)}$

خطوة 5.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اضرب $12$ في $1$ .

$y' = \frac{12}{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 5 y}$

خطوة 5.3.4.2

انقُل $5$ إلى يسار ${(4 x + 3)}^{2}$ .

$y' = \frac{12}{5 \cdot {(4 x + 3)}^{2} y}$

خطوة 5.3.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{12}{5 {(4 x + 3)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$