حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{y} \cos (x) = 6 + \sin (x y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (e^{y} \cos (x)) = \frac{d}{d x} (6 + \sin (x y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{y}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{y} y'$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 + \sin (x y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

خطوة 3.1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$0 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$0 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 3.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y)$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

خطوة 3.3.2

أضف $0$ و $\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$ .

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

خطوة 5.3

اطرح $x y' \cos (x y)$ من كلا المتعادلين.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

خطوة 5.4

أضف $e^{y} \sin (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' e^{y} \cos (x)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' \cos (x y)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ على $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ على $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$