حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ و $g (x) = 10 x^{3} + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

خطوة 3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

خطوة 3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

خطوة 3.5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{3}{2}$ و ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 x^{3} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.8

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.10

اضرب $3$ في $10$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 3.11

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} + 0)$

خطوة 3.12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

أضف $30 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2})$

خطوة 3.12.2

اجمع $30$ و $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

خطوة 3.12.3

اضرب $3$ في $30$ .

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

خطوة 3.12.4

اجمع $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

خطوة 3.12.5

أخرِج العامل $2$ من $90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

خطوة 3.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

خطوة 3.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

خطوة 3.13.4

اقسِم $45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ على $1$ .

$45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

خطوة 3.14

أعِد ترتيب عوامل $45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$