حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{1}{x}$ . إذن $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ ، لذا $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{1}{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

خطوة 1.3

اقسِم $1$ على $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

خطوة 3

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $\frac{1}{2}$ وفي $1$ .

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

خطوة 4.2

بسّط.

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

خطوة 5.2

اضرب $- - e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

خطوة 5.2.2

اضرب $e$ في $1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

الصيغة العشرية:

$1.06956055 \dots$

خطوة 7