حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب عوامل $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (x^{2} y' + y (2 x))$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x^{2} y') + 4 (2 y x)$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $4$ .

$4 x^{2} y' + 8 y x$

خطوة 3.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.3

وسّع $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.6

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.7

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.7.1

انقُل $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.7.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.7.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.7.3

أضف $2$ و $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.1.4.8

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 4 x^{2} y' + 8 x y$

خطوة 5.2

اطرح $4 x^{2} y'$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $4 x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3}$

خطوة 5.3.2

اطرح $4 x y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y y' x^{2}$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y^{3} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $4 y'$ من $- 4 x^{2} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3}$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2})$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ على $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ على $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ .

$\frac{4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y x^{2} + y^{3} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8 x y$ .

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3.1.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3.1.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3.1.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3.1.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3.1.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3.1.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3.1.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

خطوة 5.5.3.1.1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.1.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.1.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x y - x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x y - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x y - x^{3} - x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x (2 y) + x (- x^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.2

أعِد كتابة $- 1 y^{2}$ بالصيغة $- y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$