حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{8} \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

خطوة 1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

خطوة 1.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\ln (8)} u d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\ln (8)}$

خطوة 3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u^{2}$ في $\ln (8)$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{2} \ln^{2} (8)) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln^{2} (8)$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

خطوة 3.2.3

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

خطوة 3.2.4

اضرب $0$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} + 0$

خطوة 3.2.5

أضف $\frac{\ln^{2} (8)}{2}$ و $0$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln^{2} (8)}{2}$

الصيغة العشرية:

$2.16203856 \dots$