حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{3} x^{2} \ln (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x} d x)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{1} d x)$

خطوة 4.2.2.5

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ في $3$ وفي $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3}$ في $3$ وفي $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{\ln (3) \cdot 27}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.2

انقُل $27$ إلى يسار $\ln (3)$ .

$\frac{27 \cdot \ln (3)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $27 \ln (3)$ .

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \ln (3)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.3.2.4

اقسِم $9 \ln (3)$ على $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.5

اضرب $\ln (1)$ في $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.6

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.8.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.8.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

خطوة 6.3.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3})$

خطوة 6.3.11

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

خطوة 6.3.12

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

خطوة 6.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

خطوة 6.3.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.14.1

اضرب $9$ في $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

خطوة 6.3.14.2

اطرح $1$ من $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3}$

خطوة 6.3.15

اضرب $\frac{26}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{3 \cdot 3}$

خطوة 6.3.16

اضرب $3$ في $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{9}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{0}{3} - \frac{26}{9}$

خطوة 7.1.2

اقسِم $0$ على $3$ .

$9 \ln (3) - 0 - \frac{26}{9}$

خطوة 7.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$9 \ln (3) + 0 - \frac{26}{9}$

خطوة 7.2

أضف $9 \ln (3)$ و $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

الصيغة العشرية:

$6.99862170 \dots$