حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{6} \frac{x}{\sqrt{9 + 2 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 9 + 2 x^{2}$ . إذن $d u = 4 x d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 9 + 2 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $9 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 + 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$0 + 4 x$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $4 x$ .

$4 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 9 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 9 + 2 \cdot 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 9 + 2 \cdot 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 9 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $9$ و $0$ .

$u_{lower} = 9$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 9 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 6^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 36$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $2$ في $36$ .

$u_{upper} = 9 + 72$

خطوة 1.5.2

أضف $9$ و $72$ .

$u_{upper} = 81$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 81$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{9}^{81} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{81} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

خطوة 2.2

انقُل $4$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int_{9}^{81} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{81}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $81$ وفي $9$ .

$\frac{1}{4} ((2 \cdot 81^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9^{1} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.5

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.6

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.7

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 6.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 6.2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3^{1})$

خطوة 6.2.9

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3)$

خطوة 6.2.10

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{1}{4} (18 - 6)$

خطوة 6.2.11

اطرح $6$ من $18$ .

$\frac{1}{4} \cdot 12$

خطوة 6.2.12

اجمع $\frac{1}{4}$ و $12$ .

$\frac{12}{4}$

خطوة 6.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4}$

خطوة 6.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

خطوة 6.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

خطوة 6.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1}$

خطوة 6.2.13.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3$

خطوة 7