حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} e^{- 3 x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{- 3 x}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $e^{- 3 x}$ و $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $- \frac{1}{3} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{3} \cdot 2$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{- 3 x} (x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (x) d x)$

خطوة 4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

خطوة 4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

خطوة 4.5

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 3 x}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $e^{- 3 x}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

خطوة 6.3

اجمع $e^{- 3 x}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

خطوة 8.2

اضرب $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ في $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = - 3 x$ . إذن $d u = - 3 d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = - 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u)$

خطوة 11.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u)$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u))$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)))$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

خطوة 14.2

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

خطوة 15

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أعِد كتابة $- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ بالصيغة $- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 16.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 16.2.2

اجمع $e^{- 3 x}$ و $\frac{x^{2}}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 16.2.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 16.2.4

اجمع $e^{- 3 x}$ و $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 16.2.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

خطوة 16.2.6

لكتابة $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

خطوة 16.2.7

اجمع $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 16.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 16.2.9

اجمع $3$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 16.2.10

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{6}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 16.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.11.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 16.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.11.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 16.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 16.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 16.2.11.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

خطوة 17

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 3 x$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{3} + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} (- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x})) + C$