حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} e^{5 x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{5 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{5} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{5} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 2 \int e^{5 x} (x) d x)$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{5}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} \int e^{5 x} (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x))$

خطوة 8

لنفترض أن $u = 5 x$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u)$

خطوة 9

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u)$

خطوة 11.2

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

خطوة 12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد كتابة $\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))$ بالصيغة $\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{5} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x}{5} e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.4

اجمع $\frac{x}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{25}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) + C$

خطوة 13.2.6

لكتابة $- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot \frac{5}{5} + C$

خطوة 13.2.7

اجمع $- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} + \frac{- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot 5}{5} + C$

خطوة 13.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot 5}{5} + C$

خطوة 13.2.9

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 5 (\frac{2}{5}) (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

خطوة 13.2.10

اجمع $- 5$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 5 \cdot 2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

خطوة 13.2.11

اضرب $- 5$ في $2$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 10}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

خطوة 13.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.12.1

أخرِج العامل $5$ من $- 10$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

خطوة 13.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.12.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

خطوة 13.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

خطوة 13.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

خطوة 13.2.12.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25})}{5} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{5} (x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{5 x})) + C$