حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$

خطوة 1

أعِد ترتيب $e^{- x}$ و $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{- x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \cos (2 x)$ و $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

خطوة 3

بما أن $- - 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- - 2$ خارج التكامل.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (- - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{- x}$ و $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int \sin (2 x) e^{- x} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sin (2 x)$ و $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 \cos (2 x)) d x)$

خطوة 6

بما أن $- 1 \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1 \cdot 2$ خارج التكامل.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

خطوة 7

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

خطوة 7.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

خطوة 7.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

خطوة 7.4.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 4 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x$

خطوة 8

بإيجاد قيمة $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ ، وجدنا أن $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5} + C$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ بالصيغة $\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- \cos (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

خطوة 9.2.1.2

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))}{5} + C$

خطوة 9.2.1.3

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \cos (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

خطوة 9.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $2 \sin (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

خطوة 9.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

خطوة 9.2.5

أعِد كتابة $- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ بالصيغة $- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

خطوة 9.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{5} e^{- x} (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)) + C$