حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sec^{3} (x) \tan^{3} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\tan^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x)) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) ((- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x)) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{2} (- 1 + u^{2}) d u$

خطوة 4

اضرب $u^{2} (- 1 + u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $u^{2}$ .

$\int - 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $- 1 u^{2}$ بالصيغة $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.3

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 5.3.2

أضف $2$ و $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + \frac{1}{5} \sec^{5} (x) + C$