حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 9}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 3 \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $3 \sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $9 \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 \tan (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $3 \tan (t)$ من $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \sec (t) d t$

خطوة 3

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{3})) + \tan (arcsec (\frac{x}{3})) |) + C$

خطوة 5

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} x)) |) + C$