حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

خطوة 1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

خطوة 2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 3

اضرب المتغير المستقل في $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 4.2

اضرب ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ في $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

خطوة 5.2

اضرب ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ في $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\sec (\frac{x}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 6.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 6.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $\sec (\frac{x}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

خطوة 6.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 6.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 6.7

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أخرِج العامل $\cos (\frac{x}{2})$ من $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 6.7.2

أخرِج العامل $\cos (\frac{x}{2})$ من $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 6.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 6.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 6.8

اجمع $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ و $- 2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 6.9

اجمع $\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ و $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 6.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 7

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ إلى $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 8

حوّل من $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ إلى $2 \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

خطوة 9

حوّل $\sec^{2} (x)$ إلى $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

خطوة 10

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 11

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 11.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 11.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

خطوة 11.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 11.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = 1$ و $b = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

خطوة 12

لنفترض أن $u_{1} = \frac{x}{2}$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u_{1} = \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 12.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 12.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

خطوة 13.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

خطوة 13.3

اجمع $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ و $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

خطوة 13.4

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

خطوة 14

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

خطوة 15

لنفترض أن $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

افترض أن $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

أوجِد مشتقة $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

خطوة 15.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

خطوة 15.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

خطوة 15.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $- \tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

خطوة 15.1.3.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

خطوة 15.1.4

اطرح $\sec^{2} (u_{1})$ من $0$ .

$- \sec^{2} (u_{1})$

خطوة 15.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 16

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 17

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 18

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 18.2

انقُل ${u_{2}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 18.3

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 18.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

خطوة 19

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

أعِد كتابة $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ بالصيغة $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

خطوة 20.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

خطوة 20.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{u_{2}} + C$

خطوة 21

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

خطوة 21.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

خطوة 22

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$