حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} + 5 e^{5 x} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{3}}$ في صورة $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

خطوة 2.2

انقُل $x^{\frac{3}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int 5 e^{5 x} d x$

خطوة 4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{5 x} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 5 x$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 1 \int e^{u} d u$

خطوة 8.3

اضرب $\int e^{u} d u$ في $1$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int e^{u} d u$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + e^{u} + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

خطوة 10.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{5 x} + C$