حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{e^{u}}{{(1 - e^{u})}^{2}} d u$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 1 - e^{u}$ . إذن $d u_{1} = - e^{u} d u$ ، لذا $- \frac{1}{e^{u}} d u_{1} = d u$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 1 - e^{u}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - e^{u}$ .

$\frac{d}{d u} [1 - e^{u}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، إذن مشتق $- e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \frac{d}{d u} [e^{u}]$ .

$0 - \frac{d}{d u} [e^{u}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 - e^{u}$

خطوة 1.1.4

اطرح $e^{u}$ من $0$ .

$- e^{u}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل ${u_{1}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ بالصيغة $- - \frac{1}{u_{1}} + C$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C$

خطوة 6.2.2

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 - e^{u}$ .

$\frac{1}{1 - e^{u}} + C$