حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \cos (x) = x^{2} + y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 2 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 2 y y' + 2 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ .

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 2 y y' + 2 x$

خطوة 5.2

اطرح $2 y y'$ من كلا المتعادلين.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 2 y y' = 2 x$

خطوة 5.3

أضف $y \sin (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$y' \cos (x) - 2 y y' = 2 x + y \sin (x)$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cos (x) - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x)) - 2 y y' = 2 x + y \sin (x)$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y'$ .

$y' (\cos (x)) + y' (- 2 y) = 2 x + y \sin (x)$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (\cos (x)) + y' (- 2 y)$ .

$y' (\cos (x) - 2 y) = 2 x + y \sin (x)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (\cos (x) - 2 y) = 2 x + y \sin (x)$ على $\cos (x) - 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (\cos (x) - 2 y) = 2 x + y \sin (x)$ على $\cos (x) - 2 y$ .

$\frac{y' (\cos (x) - 2 y)}{\cos (x) - 2 y} = \frac{2 x}{\cos (x) - 2 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x) - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (\cos (x) - 2 y)}{\cos (x) - 2 y} = \frac{2 x}{\cos (x) - 2 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{\cos (x) - 2 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$